 |
 |
 |
    |
|
Rzuty w polu grawitacyjnym
Z pojęciem rzutu w polu grawitacyjnym Czytelnik na pewno się już spotkał w gimnazjum. Tutaj nieco uzupełnimy tę wiedzę. Skupimy się głównie na opisie matematycznym tych ruchów. W poniższym temacie zakładamy, że pole grawitacyjne, w którym ma miejsce rzut jest jednorodne, tzn.  . Dodatkowo pomijamy wszelkie opory ruchu. Okazuje się, że każdy ruch w takim polu sił można opisać już za pomocą dwóch współrzędnych, tzn. ruch sprowadza się do ruchu w płaszczyźnie. W niniejszym opracowaniu będę stosował układ współrzędnych Oxy. Przed przestudiowaniem tego opracowania radziłbym zapoznać się z tematem Ruchy prostoliniowe. § 0. Oznaczenia, typy rzutów i podstawowe definicje Do wszystkich poniższych rozważań proponuję przyjąć następujące oznaczenia:  - wysokość na jakiej znajduje się ciało w danej chwili czasu,  - wysokość na jakiej znajduje się ciało w czasie  ,  - prędkość ciała w danej chwili czasu,  - prędkość początkowa (prędkość jaką nadajemy ciału),  - przyspieszenie ziemskie (oś Oy kierujemy tak aby przyspieszenie ziemskie miało tylko jedną składową - pionową. Ponadto Oś Oy jest zwrócona grotem do góry). W tym opracowaniu będziemy zajmowali się kilkoma rodzajami rzutów w polu grawitacyjnym. Poniżej przedstawię ich skrócone charakterystyki. Spadek swobodny - prędkość początkowa jest równa zeru, wysokość początkowa różna od zera, ruch odbywa się wzdłuż linii prostej. Rzut pionowy w górę - prędkość początkowa różna od zera i zwrócona przeciwnie do g, wysokość początkowa różna od zera lub równa zeru, ruch odbywa się wzdłuż linii prostej. Rzut pionowy w dół - prędkość początkowa różna od zera i zwrócona zgodnie z g, wysokość początkowa różna od zera, ruch odbywa się wzdłuż linii prostej. Rzut poziomy - prędkość początkowa różna od zera, skierowana prostopadle do g, wysokość początkowa różna od zera, ruch odbywa się w płaszczyźnie. Rzut ukośny - prędkość początkowa różna od zera, skierowana pod kątem różnym od zera do poziomu, wysokość równa zeru; (można rozpatrzyć z niezerową wysokością początkową, ale jest to dość skomplikowane) § 1. Spadek swobodny
Jest to ruch bez prędkości początkowej, zatem mamy swoisty spadek, w potocznym tego słowa znaczeniu. Na ciało działa tylko jedna siła - siła grawitacji, która powoduje przyspieszenie ciała w kierunku pionowym w dół. Zgodnie z II zasadą dynamiki, takie ciało porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym. 1.1. Równanie ruchu Równanie spadku swobodnego jest analogiczne do ruchu jednostajnie przyspieszonego bez prędkości początkowej (patrz linkowany temat)  znak "-" bo oś Oy jest skierowana do góry (patrz oznaczenia). 1.2. Czas spadku Rozpatrzmy czas spadku z wysokości  na dowolną wysokość  . Wiadomo, że "delta to od końca odjąć początek", zatem  . Oczywistym jest, że wysokość końcowa jest mniejsza od wysokości początkowej więc  ; niemniej jednak nas nie interesuje znak wyrażenia  , zatem  Rozwiązując to równanie względem  otrzymujemy wynik Czas spadku na dowolną wysokość w spadku swobodnym  W szczególności, gdy ciało spada na poziom  Przykład 1
Ciało spada swobodnie z wysokości  . Z jaką prędkością ciało uderzy o ziemię? Na jakiej wysokości  prędkość ciała będzie równa połowie prędkości końcowej? Przyjmij  Rozwiązanie: Najpierw policzymy czas spadku na poziom zerowy,  . Korzystając z tego, że w spadku swobodnym  mamy  . Niech  będzie momentem, kiedy ciało znajduje się na wysokości  i ma prędkość  . Równanie spadku swobodnego wygląda wtedy następująco:  , ale człon  , zatem  . § 2. Rzut pionowy w górę
2.1. Równania ruchu Równanie rzutu pionowego w górę jest analogiczne do ruchu jednostajnie opóźnionego z prędkością początkową (patrz linkowany temat). Równania ruchu w rzucie pionowym w górę  znak "-" bo oś Oy jest skierowana do góry (patrz oznaczenia). 2.2. Czas spadku Tak jak poprzednim razem postaram się pokazać jaki jest czas spadku na dowolną wysokość.   Czas spadku na dowolną wysokość w rzucie pionowym w górę (rozwiązanie ogólne)  Zauważmy, że nie możemy powiedzieć nic konkretnego o znaku przed pierwiastkiem. Wszak rozważaliśmy przypadek najogólniejszy. Przeanalizujmy przypadki łatwiejsze. Gdy ciało spada na poziom  :  Tutaj nie możemy zajmować się wyrażenie ze znakiem "-" przed pierwiastkiem, gdyż wartość pierwiastka jest zawsze większa od  . Gdybyśmy założyli, że wzór z minusem jest do przyjęcia, to otrzymalibyśmy  , a my analizowaliśmy ruch od momentu  , zatem takie rozwiązanie nas nie interesuje. Oraz gdy ciało zostaje wyrzucone z poziomu zerowego:  Tutaj nie możemy pominąć żadnego rozwiązania, gdyż pierwiastek jest nie mniejszy niż  . Nie rzadko proszą nas w zadaniach o podanie czasu, po jakim ciało znajdzie się ponownie na wysokości zerowej. Kiedy rozwiązaliśmy przypadek ogólny, nie pozostaje nic prostszego jak podstawić odpowiednie wielkości do rozwiązania ogólnego, tj.  i  :   Rozwiązanie  odpowiada sytuacji początkowej, kiedy wyrzucamy ciało z poziomu zerowego. Rozwiązanie  jest całkowitym czasem ruchu ciała. Zauważmy, że połowa czasu spadania jest równa tzw. czasowi wznoszenia, który definiuje się jako rozwiązanie równania  . Odpowiada ono sytuacji gdy ciało ma zerową prędkość, czy znajduje się na wysokości maksymalnej. Doszliśmy zatem do tego, że w jednorodnym polu grawitacyjnym czas wznoszenia na pewną wysokość jest równy czasowi spadku z tej wysokości. To właśnie jednorodność pola zapewnia nam prawdziwość powyższego stwierdzenia. 2.3. Wysokość maksymalna Na wysokości maksymalnej prędkość ma wartość zerową zatem  . Jest to czas po jakim ciało osiągnie wysokość maksymalną. Wstawmy to do równania ruchu  Wysokość maksymalna w rzucie pionowym w górę  Przykład 2 Znaleźć prędkość początkową, z jaką wyrzucono ciało pionowo do góry, jeżeli na wysokości  (licząc od punktu wyrzucenia ciała) znajdowało się ono dwukrotnie w odstępie czasu  .  . Rozwiązanie: Przyjmijmy początek osi Oy w punkcie wyrzutu. Wtedy  . Wiadomo, ze w jakimś momencie  ciało znalazło się na wysokości  , a po czasie  znów znalazło się na tejże wysokości. Zatem nasze równania ruchu można zapisać   Po odjęciu od równania (2) równania (1) i podzieleniu przez  otrzymujemy równanie  Wstawmy ten czas do równania (1)   Wybrałem trudniejszą drogę dojścia do wyniku. Zadanie można rozwiązać w sposób o wiele prostszy dochodząc do wniosku, że po czasie t1+0,5Δt ciało osiąga wysokość maksymalną a następnie spada swobodnie z tej wysokości na wysokość h po upływie czasu 0,5Δt i tak naprawdę tylko to drugie równanie jest nam potrzebne bo z niego można bezpośrednio wyznaczyć prędkość początkową. Powodzenia! § 3. Rzut pionowy w dół
3.1. Równania ruchu Równanie rzutu pionowego w górę jest analogiczne do ruchu jednostajnie przyspieszonego z prędkością początkową (patrz linkowany temat). Równania ruchu w rzucie pionowym w dół
 znak "-" ponieważ współrzędna wysokości cały czas się zmniejsza o podany nawias. 3.2. Czas spadku Tak jak poprzednim razem postaram się pokazać jaki jest czas spadku na dowolną wysokość     Oczywiście wynik z minusem zostaje odrzucony, gdyż nie operujemy pojęciem ujemnego czasu. Czas spadku w rzucie pionowym w dół
 w szczególności gdy ciało spada na poziom   § 4. Rzut poziomy
Rzut poziomy w polu grawitacyjnym jest superpozycją dwóch ruchów: jednostajnego w kierunku wyrzutu i jednostajnie przyspieszonego w dół. Niech ciał znajduje się na wysokości  . Oś Oy jest skierowana w górę (g=[0,-g,0]) a oś Ox w prawo. Ciało rzucamy również w prawo z szybkością  . 4.1. Równania ruchu Równania ruchu w rzucie poziomym
 Wyznaczając czas z równania na  i wstawiając go do równania na  możemy uzyskać równanie toru po jakim porusza się rzucane ciało. Nie są to skomplikowane obliczenia, więc od razu napiszę wynik Równanie toru w rzucie poziomym
 Równanie to opisuje kawałek (gałąź) paraboli; kawałek, bo rozpatrujemy ruch od momentu x=0, zatem dziedziną tej funkcji jest  a zbiorem wartości  . 4.2. Czas spadku Znów rozpatrzymy czas spadku na dowolną wysokość. Sprawa jest identyczna jak w przypadku spadku swobodnego. Dlaczego? Wynika to z tego, że na czas spadku wpływa siła grawitacji, która działa tylko w pionie, zatem tylko ona decyduje o spadku ciała. To z jaką prędkością wyrzucimy ciało nie ma wpływu na czas spadku, bo na wyrzucone ciało w kierunku poziomym nie działa żadna siła (zakładamy brak sił oporu ośrodka). Zatem czas na dowolną wysokość  spadku wynosi Czas spadku w rzucie poziomym
 W szczególności gdy ciało spada na poziom   4.3. Zasięg Zasięg to odległość w poziomie od miejsca wyrzutu ciała (x=0) do miejsca upadku (punkt (0,Z)). Zasięg tutaj będę oznaczał jako Z. Trzeba znaleźć moment, w którym y=0 i policzyć czas po jakim to nastąpi. Zrobiliśmy to w poprzednim podpunkcie:  . Zasięg o nic innego jak Zasięg w rzucie poziomym
 Przykład 3 Kula pistoletowa wystrzelona poziomo przebiła dwie poziomo ustawione kartki papieru w odległościach  i  od pistoletu. Różnica wysokości na jakich znajdują się otwory w kartkach wynosi  . Oblicz prędkość początkową kuli.  Rozwiązanie: Niewątpliwe założyć trzeba, ze kula nie traci swojej prędkości po zderzeniu z kartkami papieru. Niech w chwili  kula przebija pierwszą kartkę a w chwili  drugą. Wtedy  i  . Wiadomo, że w chwili  ciało znajduje się na wysokości  a w chwili  na wysokości  , zatem  i  Nie musimy znać wysokości początkowej, gdyż odległość w pionie między otworami to nic innego jak  Wstawiając wcześniej wyliczone czasy   § 5. Rzut ukośny
Rzut ukośny jest superpozycją ruchów: jednostajnego w kierunku wyrzutu ciała i rzutu pionowego w górę w pionie rzecz jasna. Niech oś Oy będzie skierowana w górę a oś Ox w prawo. W chwili początkowej ciało znajduje się w punkcie (0,0) i nadajemy mu prędkość  skierowaną pod kątem  to poziomu (osi Ox). 5.1. Równanie ruchu Najpierw trzeba rozłożyć prędkość  na dwie składowe: wzdłuż osi Ox  i wzdłuż osi Oy  , zatem Równania ruchu w rzucie ukośnym
 I postępując tak jak w przypadku rzutu poziomego wyznaczamy tor ruchu ciała Równanie toru w rzucie ukośnym
 Równanie to opisuje pewną funkcję kwadratową, której dziedziną jest  a zbiorem wartości  . 5.2. Czas wznoszenia Analizując ten sam podpunkt z rzutu poziomego, można dojść do wniosku, że czas wznoszenia na dowolną wysokość  , to rozwiązanie równania  Czas wznoszenia w rzucie ukośnym
 Oczywiście bierzemy pod uwagę oba czasy bo ciało dwa razy znajduje się na jeden wysokości. W szczególności gdy   - dotyczy sytuacji początkowej  - to czas po jakim od momentu wyrzucenia ciała, ono ponownie znajdzie się na wysokości 0Zatem znając ten czas możemy obliczyć zasięg w rzucie ukośnym, czego dotyczy następny podpunkt. 5.3. Zasięg Posileni wiedzą z punku traktującego o rzucie ukośnym możemy przejść od razu do równań  Z równości  wnioskujemy, że  , zatem Zasięg w rzucie ukośnym
 Kiedy zasięg jest największy? Kiedy sinus kąta ma największą wartość, którą jest 1. Rozpatrujemy kąty z przedziały  . Sinus kąta prostego ma największą wartość zatem  czyli  , a więc największy zasięg otrzymamy gdy rzucimy coś pod kątem 45°. Możemy zapisać  5.4. Wysokość maksymalna Nasz rzut w pionie opisują równania  Ciało na wysokości maksymalnej ma zerową składową prędkości y-kowej, zatem  . Wstawiamy to teraz do równania na   Wysokość maksymalna w rzucie ukośnym
 Przykład 4 Pod jakim kątem do poziomu wyrzucono ciało, jeżeli wiadomo, że maksymalna wysokość, na jaką wzniosło się ciało jest cztery razy mniejsza od zasięgu rzutu? Rozwiązanie: Korzystamy z wcześniej wyprowadzonych wzorów:  oraz  . Wiemy, że  , zatem   Działamy tylko na kątach ostrych, a w takowych istnieje tylko jeden kąt, którego sinus i cosinus przyjmują takie same wartości  |
 |